柴田 徹太郎教授にインタビュー!

柴田 徹太郎教授にインタビュー!

非線形楕円型方程式の固有値問題に関する研究。

非線形楕円型方程式の固有値問題、さらに逆分岐問題の解析にも挑む。

柴田 徹太郎 教授

 私の研究領域は、数学における微分方程式です。歴史的には、微分方程式は大きく分けて、「楕円型」、「放物型」、「双曲型」の3種類に分類されます。また、「線形」、「非線形」の2つに分類されるので、古典的には、3×2で、6通りの微分方程式が研究されてきました。もちろん現在では、これ以外にも、流体の方程式や分散型方程式、また逆問題と呼ばれる分野など、微分方程式の研究分野は多岐にわたります。そうした中で、私の研究分野は「非線形楕円型方程式」に分類され、特に『非線形固有値問題』というものを研究しています。固有値という言葉は、「行列の固有値」というように、数学ではポピュラーな用語です。時には「スペクトル」とも表現されるので、どこかで耳にしたことがあるのではないでしょうか。この固有値は、「物体の振動」とも関係があります。
 より専門的な話をしていきますと、私の研究分野は、(1)分岐曲線の大域的解析(2)逆分岐問題の2つが中心と言えると思います。これらについては、数学の専門用語を使わずに説明することは困難なので、難しい説明になりますが、しばらくおつきあいください。

 

(1)分岐曲線の大域的解析
 非線形楕円方程式の固有値問題は、生物の個体の増減を記述するロジスティック方程式など、いろいろな自然現象から導かれます。物理における単振り子の方程式も非線形固有値問題のひとつですし、工学における非線形振動論にも非線形固有値問題が出現します。線形の方程式と異なり、出現する固有値は曲線であることが多いので、しばしば分岐曲線とも呼ばれます。ちなみに、線形固有値問題の分岐曲線は単なる直線です。

(原点から分岐する分岐曲線λ(α)の例)

(あ)分岐問題に関しては、1970年代にP.Rabinowitzらによって得られた分岐理論がとてもよく知られています。しかし、非線形項を大きく変えただけでも、たとえ常微分方程式であっても、分岐曲線の大域的挙動は非常に大きく変化するので、上記の古典的理論のみでは詳しく解析することは非常に困難でした。

(い)また、分岐曲線の解析は、主としてL-空間の枠組みで考察されてきました。L-空間は、関数の集合を考え、各関数をいわば“点”とみなす、関数空間(ノルム空間)のひとつです。2つの関数の“距離”の測り方はいろいろあるので、その測り方の違いをLL1などと表します。たとえば、ロジスティック方程式などでは、解のL1-ノルムは生物等の個体数を表現する重要な量です。そこで、常微分方程式におけるtime-mapのアイデアを援用し、Lq-空間における分岐曲線の大域解析に成功しました。

(う)2つのパラメータを含む方程式の研究にも精力的に取り組んできました。RNの有界領域Ωにおいて、2つのパラメータλ, μ>0を含む非線形シュレーディンガー方程式に関連した方程式を考えます。この方程式が解を持つパラメータの集合S={(μ, λ)}の構造を明らかにすることを目標としました。方程式の特徴から、2種類の異なる変分法を用いてμλでパラメトライズしました。すなわち、新しいパラメータα, β>0を導入し、μ=μ1λ, α), μ=μ2λ, β)と表現しました。このことは、Sに2種類の「切れ目」を入れていることに相当します。そしてλ→∞での漸近挙動を調べることは、線形の問題の場合、「asymptotic direction」を求める問題と呼ばれています。

 

(2)逆分岐問題
 逆分岐問題とは、分岐曲線の特徴から未知の非線形項を決定する問題です。線形の場合と異なり、非線形楕円型方程式の逆分岐問題の研究は非常に少なく、ほとんど未知の研究領域と言えるでしょう。何故ならば、与えられた非線形項を持つ方程式の分岐曲線の構造を明らかにする、いわゆる順問題の解析ですら、時として非常に困難であるからです。私は最近、(1)の研究成果に基づき、分岐曲線の大域的挙動から未知の非線形項を決定するというまったく新しい研究テーマを考案し、いくつかの基本的結果を得ました。例えば、次の非線形方程式の逆固有値問題を考えます。

u''(t)+f(u(t))=λu(t),  u(t)>0t ε I=:(0,1),  u(0)=u(1)=0

この方程式は、生物の個体数の増減を表すモデル方程式(ロジスティック方程式)と密接に関連しています。λ>0は増殖率を表すパラメータです。非線形項f(u)が未知の関数のとき、λと解の増大度の関係から未知関数f(u)を決定する問題を提唱しました。そして、(1)で導入したLq分岐曲線λ(q, α)の漸近挙動から、未知の非線形項f(u)とベキの非線形項uqの近さを定量的に決定できることを示しました。

※これらの成果を発表した論文は、その独創性を高く評価され、第16回(2017年度)日本数学会解析学賞を受賞しています。

実は社会と密接な関係がある数学という学問。社会問題の解決にもつながる。

 こうした私の研究の特徴は、『現実の現象を反映するモデル方程式に対する数学的アプローチを与えていること』と言えるでしょう。数学の研究対象は日々広がっており、さまざまな分野における現象が、数学、特に微分方程式を用いて定式化され、モデル方程式として解析されています。特に、環境問題(地球環境の変化など)や社会問題(交通渋滞やその解消など)においては、早急に解決すべき課題が山積みであり、緊急に対処しなければならない喫緊の課題も多いことから、これらを数値解析的に考察していくことはとても大切なことです。数学的な考察は、その現象をコントロールしている方程式に関して、根本的な解、すなわち、問題の本質を求めていく学問ですから、私は今後も、そうした現象を表す方程式の解の定性的・定量的な研究を進めていきたいと考えています。

 また、実際にモデル方程式を数学的に解析していく際には、多くの場合、研究当初はモデル方程式が単純化されているものです。しかし、研究が進むにつれて、モデル方程式は実際の現象を、より詳細に特徴づけできるように一般化されていきます。その意味において、研究当初は比較的単純だったモデル方程式が、解析手法が進歩し、さまざまなアプローチと組み合わせることによって、現象を特徴づける厳密な解を得ることができます。私は、モデル方程式が、数学・数値問題・データ解析等、さまざまな角度から横断的に研究されることによって、環境問題や社会問題に対する解決策を与えることができると期待しています。

柴田教授

自分のやりたい数学はどんな分野か。興味とじっくり向き合って、ぜひ工学部へ。

 私の研究スタイルは、自分が興味を持った方程式について、いままでにない新しい切り口から問題を提案し、その答えを見つけ、そしてその研究成果を公表することによって、現在の研究が意味のある研究対象かどうかを問いかけるというもの。研究はその繰り返しだと思っています。そのため、自分が興味を持った研究対象に、根気よく取り組んでいくよう努めています。

ホワイトボード

 そして、研究の醍醐味を味わえるのは、時間をかけて取り組んできた問題に対して、納得のいく解答が得られたときです。もともと数学の、計算すればきちんと答えが出るというようなところが好きでしたが、数学の研究者を目指すようになったのは、大学の数学科に入学したところから。しかしながら、大学での数学には大きな戸惑いがありました。入学したのは理学部数学科でしたが、ここでの数学は非常に特殊で、定理を証明していくことを重視した学びでした。それは、数学者になるための基礎訓練とも言うべきものですが、高校までの数学とまったく違いますから、非常に当惑したのを覚えています。高校の数学は、どちらかというと、工学部の数学の勉強に似ているように思います。

 数学を学ぶために、理学部に行くか、工学部に行くかで悩まれる高校生も多いかと思いますが、私は自身の経験から、まずは両者の違いをよく理解したうえで、正しい選択をして欲しいと思います。工学部での数学は、例えば、物理現象を記述するのに必要な数学といったものが中心になりますし、基礎的な数学力は必要不可欠です。いずれにしても、数学の問題に取り組むには、根気が必要です。学生の皆さんには、根気よく研究を続けて欲しいですし、自分の研究において、困難な局面に遭遇したときでも、簡単には投げ出さない姿勢を身につけて欲しいと願っています。
 私が所属している数理学研究室は現在、教授が3名、准教授や助教の先生方も併せると教員が7名いる大所帯です。そのため、私のような微分方程式のほか、数値計算を扱う先生など、それぞれの研究分野も多岐にわたりますので、興味のある分野も見つけやすいのではないかと思います。ぜひ数理学研究室の扉を叩いてください。大歓迎いたします。

 

 

 

柴田 徹太郎 教授
Tetsutaro Shibata
数理学研究室

1991年11月 博士号取得(理学) 東京都立大学
1995年10月1日~2004年3月31日 広島大学 総合科学部 助教授
2004年4月1日~ 広島大学 大学院工学研究科 教授


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